Question

（2010•江苏模拟）已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可将直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）改写为（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0由于k∈R故

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

即

x=3 y=0

即F（3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C的标准方程．
（2）要证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交只需证明圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

小于圆O：x²+y²=1的半径1．而要求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式再结合参数的取值范围即可得解．

解答：解：（1）由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）可得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
∴

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

∴F（3，0）
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

∴

a=5 b=4 c=3

．
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m²+n²
∴圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r
∴直线l与圆O恒相交
又∵直线l被圆O截得的弦长为L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2 +16

∵0≤m²≤25
∴16≤16+

9

25

m²≤25
∴L∈[

15

2

，

4 6

5

]
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[

15

2

，

4 6

5

]

点评：本题主要考察了直线与圆锥曲线的综合．解题的关键是第一问要会求直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）经过的定点和理解椭圆C上的点到焦点F的最大距离为a+c，而对于第二问理解圆心到直线的距离与半径大小的关系与直线与圆位置关系的判定以及圆中半径，圆心到直线的距离，弦长的一半满足勾股定理！