(本题满分12分)如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,点是的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
(1)证明:见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
试题分析:(1)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三边长AC,BC,AB满足勾股定理则AC⊥BC,又侧棱垂直于底面ABC,则CC1⊥AC,又BC∩CC1=C,根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC1,又BC1⊂平面BCC1,根据线面垂直的性质可知AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,根据D是AB的中点,E是BC1的中点,可知DE∥AC1,而DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,根据线面平行的判定定理可知AC1∥平面CDB1;
(3)利用线面垂直得到几何体的高,进而求解体积。
解:(1)证明:在中,
为,
…………………1分
又底面,底面,
……………………2分
平面
平面,……………………………………………………3分
而平面,
………………………………………………………………4分
(2)设交于点,连结
直三棱柱
四边形是平行四边形,是的中点……………………………5分
又是的中点,………………………………………………6分
而平面,平面,………………………………………7分
平面.………………………………………………8分
(3)连结,过点作,垂足为.
在中,………………………………9分
又直三棱柱
平面平面,而
平面平面平面
平面,即是三棱锥的高,…………………………11分
又………………………………………12分
考点:本试题主要考查了空间几何体中线线垂直的证明,以及线面平行判定定理的熟练运用。
点评:解决该试题的关键是根据线面垂直的判定定理得到线线垂直,以及运用线面平行判定定理证明线面平行。同时结合前两问的结论,作出几何体的高。
科目:高中数学 来源:2014届江西高安中学高二上期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ,为的中点.
(1)当时,求平面与平面的夹角的余弦值;
(2)当为何值时,在棱上存在点,使平面?
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省八市高三3月联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)如图,在长方体中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1;侧棱,为中点,为中点,为上一个动点.
(Ⅰ)确定点的位置,使得;
(Ⅱ)当时,求二面角的平
面角余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广西桂林中学高三7月月考试题理科数学 题型:解答题
(本题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中点,F是AD的中点.
⑴求异面直线PD与AE所成角的大小;
⑵求证:EF⊥平面PBC ;
⑶求二面角F—PC—B的大小..
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科目:高中数学 来源:2011年湖南省招生统一考试文科数学 题型:解答题
(本题满分12分)
如图3,在圆锥中,已知的直径的中点.
(I)证明:
(II)求直线和平面所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源:2010年海南省高三五校联考数学(文) 题型:解答题
(本题满分12分)
如图,三棱锥S—ABC中,AB⊥BC,D、E分别为AC、BC的中点,SA=SB=SC。
(1)求证:BC⊥平面SDE;
(2)若AB=BC=2,SB=4,求三棱锥S—ABC的体积。
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