Question

已知(

3	x

-

1

x

)n的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7．
（1）求n的值；
（2）求展开式中常数项为第几项；
（3）求有理项共有多少项．

Answer 1

分析：（1）第k+1项的二项式系数为C_n^k，由题意可得关于n的方程，求出n．
（2）利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．
（3）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为有理数，求出r的值，求出有理项的项数．

解答：解：（1）Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

x

)r=

C

r n

(-1)rx

2n-5r

6

（2分）
∵第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7．
∴

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，解得n=15（5分）
（2）由（1）得Tr+1=

C

r 15

(-1)rx

30-5r

6

令

30-5r

6

=0则r=6
∴所以常数项为第7项（7分）
（3）由条件得

30-5r

6

∈N且0≤r≤15，得r=0，6，12
∴有理项的共有3项（10分）

点评：本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念：二项式系数与系数．