Question

椭圆＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．

Answer 1

≤e<1.

解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝－c，|PF|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a²≤ac＋2c².又e＝，所以2e²＋e≥1，所以2e²＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0<e<1，所以≤e<1.
(解法2)设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，由椭圆第二定义，＝e，所以|PF|＝e－ex＝a－ex，而|FA|＝－c，所以a－ex＝－c，解得x＝(a＋c－)．由于－a≤x≤a，
所以－a≤(a＋c－)≤a.又e＝，所以2e²＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.
又0<e<1，所以≤e<1.