Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，=λ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且||，||，2||成等差数列，求λ的值．

Answer 1

解：依题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y₀，
则F（，0），准线方程为x=-，直线l的方程为y=k（x-），M（-，y₀），y₂＞0
因为=λ，所以（p，-y₀）=λ（x₂-，y₀），故p=λ（x₂-）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=，y₂=p，
故点B的坐标为（）
所以直线l的斜率k== （5分）
（II）联立y²=2px，y=k（x-），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+=0，则x₁x₂=
又 （7分）
故 （9分）
因为||，||，2||成等差数列，
所以||+2||=2||，
故（x₂-）+2（-x₁）=p，即x₂-2x₁=
将，代入上式得
因为λ＞0，所以λ=2． （12分）
分析：（I）先确定p=λ（x₂-），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（II）直线方程代入抛物线方程，求得A₁、B₁的横坐标，根据||，||，2||成等差数列，可得||+2||=2||，从而可得x₂-2x₁=，由此可求λ的值．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．