Question

【题目】如图，在半径为2，圆心角为 的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧 上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形．

设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， ），则∠POQ= ﹣2θ，且此时OM=ON=1，

四边形MNQP面积S= sinθ+ sinθ+ ×2sin（ ﹣2θ）﹣ =﹣4sin2θ+2sinθ+ ，

∴sinθ= ，S取最大值

（2）解：设OM=ON=x∈（0，2），

由PQ=2可知∠POQ= ，∠AOQ=∠BOP= ，

∴sin = ，

∴四边形MNQP面积S= x+ x+ ﹣ x2=﹣ x2+ x+ ，

∴x= ，S取最大值为

【解析】（1）设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， ），则∠POQ= ﹣2θ，且此时OM=ON=1，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．（2）PQ=2，可知∠POQ= ，∠AOQ=∠BOP= ，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．