Question

（2008•宝山区二模）已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）若数列{a_n}的各项均为整数，对给定的常数d，当数列由已知条件被唯一确定时，证明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此时数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据当k=3时，M=100，d是正整数，建立关系式，即可求出d的值，从而求出数列的前4项；
（2）由题意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*），令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，因为d，k均是正数，所以对称轴a1=-

kd

2

＜0，开口向上，从而确定a₁的范围；
（3）设a_k+1=x，则S=（k+1）x+

k(k+1)

2

d，转化成关于x的二次函数求最值，从而求出此时数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为d是正整数，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的数列为2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分）
（2）由题意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*）．…（5分）
令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，
因为d，k均是正数，所以对称轴a1=-

kd

2

＜0，开口向上，…（6分）
①当（kd）²-M＞0时，若（*）有整数解，则必有a₁＜0．…（8分）
②当（kd）²-M≤0时，若（*）只有一个整数解，则必有a₁=0．…（10分）
（3）设a_k+1=x，则S=（k+1）x+

k(k+1)

2

d，所以kd=

2S

k+1

-2x…（12分）
M≥(x-kd)2+x2=10(x-

3S

5(k+1)

)2+

2

5

(

S

k+1

)2，…（13分）
故M≥

2

5

(

S

k+1

)2，即S≤

k+1

2

10M

，…（14分）
当S=

k+1

2

10M

时，x=3

M 10

，d=

4

k

M 10

，…（15分）
此时

a

2 1

+

a

2 k+1

=

M

10

+

9M

10

=M，所以S的最大值为

(k+1) 10M

2

．…（16分）
由ak+1=a1 +kd=3

M 10

，所以a1=-

M 10

，…（17分）
此时an=

4n-4-k

k

M 10

．…（18分）

点评：本题主要考查了数列与函数的综合运用，同时考查了利用二次函数求最值，属于中档题．