Question

8．设函数f（x）=-x²-ax+1，g（x）=ax²+x+a．
（1）若f（x）在[1，2]上的最大值为4，求a的值；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最大值，解方程可得a；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得对任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），即为f（x₁）_max≥g（x₂）_max，分别求得f（x），g（x）在[1，2]上的最大值，注意对称轴和区间的关系，最后求并集即可．

解答 解：（1）f（x）=-x²-ax+1的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
当-$\frac{a}{2}$≤1，可得a≥-2时，f（x）在[1，2]递减，即有
f（1）=4，即为-a=4，解得a=-4，不成立；
当1＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜-2时，f（$-\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}+1$=4，解得a=$-2\sqrt{3}$或a=$2\sqrt{3}$（舍）；
当-$\frac{a}{2}$≥2，即a≤-4时，[1，2]递增，即有f（2）=4，
即-3-2a=4，解得a=-$\frac{7}{2}$，不成立．
综上可得，a=-$2\sqrt{3}$；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得对任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），
即为f（x₁）_max≥g（x₂）_max，
①当-$\frac{a}{2}$≤1，可得a≥-2时，f（x）在[1，2]递减，即有
f（1）取得最大值-a，-a≥ax²+x+a，
即为a≤$\frac{-x}{2+{x}^{2}}$=$\frac{-1}{x+\frac{2}{x}}$在[1，2]恒成立，
由x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$∈[1，2]时，等号成立．
即有a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则为-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
②当1＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜-2时，f（x）取得最大值f（-$\frac{a}{2}$）=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即有1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥ax²+x+a，
当-4＜a＜-2时，g（x）在[1，2]递减，g（1）取得最大值，且为2a+1，
1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥1+2a，解得a≥8或a≤0，则有-4＜a＜-2；
③当-$\frac{a}{2}$≥2，即a≤-4时，[1，2]递增，即有f（2）取得最大值-3-2a，
即有-3-2a≥ax²+x+a，当a≤-4时，g（x）在[1，2]递减，g（1）取得最大值，且为2a+1，
-3-2a≥1+2a，解得a≤-1，则有a≤-4．
综上可得，a的范围为a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，同时考查不等式恒成立问题，属于中档题．