Question

已知函数，（a∈R）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）考察f（x）在定义域上单调性的情况，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，
∴x≠0，定义域为{x|x∈R且x≠0}
（2）函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立
∴
∴=-1
∴
（3）设任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，

∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在定义域上单调递增．
分析：（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，从而可求函数的定义域
（2）由函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，代入整理可求a
（3）利用函数的单调性的定义：设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通过做差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可判断函数的单调性
点评：本题主要考查了函数分式型函数的定义域的求解，奇函数定义的应用，及利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，是函数的性质的综合应用．解题的关键是灵活应用函数的性质．