Question

（2012•烟台二模）已知各项均为正数的等比数列{a_n）的公比q=2，若存在两项a_m，a_n使得

am•an

=4a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  3

  2

• C．

  9

  4

• D．不存在

Answer 1

分析：利用等比数列的性质可求得m+n=6（m∈N^*，n∈N^*），再利用基本不等式即可求得

1

m

+

1

n

的最小值．

解答：解：∵各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q=2，

am•an

=4a₁，
∴a_m=a₁•q^m-1=2^m-1•a₁，
同理a_n=2^n-1•a₁
∴a_m•a_n=a12•2^m+n-2=16a12，
∴2^m+n-2=16=2⁴，
∴m+n=6（m∈N^*，n∈N^*），
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）×

1

6

（m+n）
=

1

6

（1+4+

n

m

+

4m

n

）
≥

1

6

（5+2

n m × 4m n

）
=

1

6

×9
=

3

2

（当且仅当m=2，n=4时取“=”）．
故选B．

点评：本题考查等比数列的性质，考查基本不等式，求得m+n=6（m∈N^*，n∈N^*）是关键，也是难点，考查化归思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．