Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AD，AB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求异面直线EF与CD₁所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连结BD，则EF∥BD，从而四边形是BB₁D₁D是平行四边形，由此能证明EF∥平面CB₁D₁．
（Ⅱ）连接A₁B，A₁D，则四边形BCD₁A₁是平行四边形，EF∥BD，从而∠A₁BD就是异面直线EF与CD₁所成角，由此能求出异面直线EF与CD₁所成角．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF∥BD，
∵BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁，
∴四边形是BB₁D₁D是平行四边形，
∴BD∥B₁D₁，∴EF∥BD，
∵B₁D₁?平面B₁D₁C，EF?面B₁D₁C，
∴EF∥平面CB₁D₁．
（Ⅱ）解：连接A₁B，A₁D，∵AD

∥ .

.

BC，AD

∥ .

.

A1D1，
∴BC

∥ .

.

A1D1，∴四边形BCD₁A₁是平行四边形，…（8分）
∴BA₁∥CD₁，又∵EF∥BD，
∴∠A₁BD就是异面直线EF与CD₁所成角  …（10分）
∵在正方体AC₁中A₁B=A₁D=BD，
∴∠A₁BD=60°，
∴异面直线EF与CD₁所成角为60°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．