【题目】已知球内接四棱锥P﹣ABCD的高为3,AC,BC相交于O,球的表面积为 ,若E为PC中点.
(1)求证:OE∥平面PAD;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
【答案】
(1)解:证明:由O,E分别是CA,CP的中点,得OE∥AP,
且满足OE平面PAD,AP平面PAD,所以OE∥平面PAD.
(2)解:由球的表面积公式S=4πR2,得球的半径 ,
设球心为O1,在正四棱锥P﹣ABCD中,高为PO,则O1必在PO上,
连AO1,则 ,
则在Rt△O1OA,则 ,即OA=2,
在正四棱锥P﹣ABCD中,PO⊥平面ABCD于O,且AC⊥BD于O,
设OA,OB,OP为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz系,
得P(0,0,3),A(2,0,0),B(0,2,0),C(﹣2,0,0),D(0,﹣2,0),PC中点 ,
所以 ,
设 分别是平面ABE和平面CBE的法向量,
则 和 ,
可得 ,则 ,
由图可知,二面角A﹣BE﹣C的大小为钝角,
所以二面角A﹣BE﹣C的余弦值为 .
【解析】(1)由O,E分别是CA,CP的中点,得OE∥AP,即可得OE∥平面PAD.(2)由球的表面积公式S=4πR2,得球的半径 ,设球心为O1,在正四棱锥P﹣ABCD中,高为PO,则O1必在PO上,连AO1,在Rt△O1OA,可得OA=2,设OA,OB,OP为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz系,得P(0,0,3),A(2,0,0),B(0,2,0),C(﹣2,0,0),D(0,﹣2,0),PC中点 ,利用向量法求解.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 (φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射线OM:θ= 与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1B,AC1的中点.
(1)求证:平面AEF⊥平面AA1B1B;
(2)若A1A=2AB=2BC=4,求三棱锥F﹣ABC的体积.
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【题目】已知F1 , F2为双曲线 的左右焦点,过F1的直线l与圆x2+y2=b2相切于点M,且|MF2|=2|MF1|,则直线l的斜率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知圆C: (θ为参数),点P在直线l:x+y﹣4=0上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(I)求圆C和直线l的极坐标方程;
(II)射线OP交圆C于R,点Q在射线OP上,且满足|OP|2=|OR||OQ|,求Q点轨迹的极坐标方程.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,点A到x轴的距离等于|AF|﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线AF与C交于另一点B,抛物线C分别在点A,B处的切线交于点P,D为y轴正半轴上一点,直线AD与C交于另一点E,且有|FA|=|FD|,N是线段AE的靠近点A的四等分点.
(i)证明点P在△NAB的外接圆上;
(ii)△NAB的外接圆周长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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