Question

11．设函数g（x）=x²-（m-2）x+m-2，若|g（x）|在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先确定g（x）图象的对称轴，再分两类讨论，即①区间[$\frac{1}{2}$，2]在对称轴的右侧，②区间[$\frac{1}{2}$，2]在对称轴的左侧，再综合得出结果．

解答 解：g（x）=x²-（m-2）x+m-2的图象为抛物线，对称轴为x=$\frac{m-2}{2}$，
|g（x）|在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数有两种情况，
①区间[$\frac{1}{2}$，2]在对称轴的右侧，且g（$\frac{1}{2}$）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{2}≤\frac{1}{2}}\\{g（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得，m∈[$\frac{3}{2}$，3]；
②区间[$\frac{1}{2}$，2]在对称轴的左侧，且g（$\frac{1}{2}$）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{2}≥2}\\{g（\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，无解，
综合以上讨论得，实数m的取值范围为：[$\frac{3}{2}$，3]．

点评 本题主要考查了函数单调性和单调区间的判断和确定，涉及二次函数的图象和性质，体现了数形结合与分类讨论的解题思想，属于中档题．