【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 .以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+ =0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右侧),且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线l恒过定点,并求出斜率k的取值范围.
【答案】
(1)解:由椭圆C: =1(a>b>0)可知焦点在x轴上,
离心率e= = ,
∴e2= = = ,即a2=2b2.
∵以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+ =0相切,
∴原点到直线x﹣y+ =0的距离为b,
b= = =1,
∴b2=1,a2=2,
∴椭圆方程为 +y2=1
(2)解:由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
由 ,整理得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0.
由△=16k2m2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)>0,得m2<2k2+1,
由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= .
∵∠NF2F1=∠MF2A,且∠MF2A≠90°, + =0.
又F2(1,0),
则 + =0,即 + =0,
化简得:2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0.
将x1+x2=﹣ ,x1x2= ,代入上式,求得m=﹣2k,
∴直线l的方程为y=kx﹣2k=k(x﹣2),
∴直线过定点(2,0).
将m=﹣2k代入m2<2k2+1,
得4k2<2k2+1,即k2< ,
又∵k≠0,
∴直线l的斜率k的取值范围是(﹣ ,0)∪(0, )
【解析】(1)由题意可知:椭圆焦点在x轴上,离心率e= = ,求得a2=2b2 . 由原点到直线x﹣y+ =0的距离为b,即b= = =1,即可求得2=2,即可求得椭圆的标准方程;(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),代入椭圆方程,由△>0,求得m2<2k2+1,由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,∠NF2F1=∠MF2A,且∠MF2A≠90°, + =0,由直线的斜率公式,求得2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0.即可求得m=﹣2k,代入直线方程求得y=kx﹣2k=k(x﹣2),则直线过定点(2,0),由m2<2k2+1,即可求得斜率k的取值范围.
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【题目】设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号,只有一个正确选项)
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【题目】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且 >2(其中O为原点).求k的取值范围.
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【题目】已知命题p:函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上是单调递增函数;命题q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立.若p∨q为真命题,且p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|lgx|﹣( )x有两个零点x1 , x2 , 则有( )
A.x1x2<0
B.x1x2=1
C.x1x2>1
D.0<x1x2<1
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【题目】已知圆O为Rt△ABC的外接圆,AB=AC,BC=4,过圆心O的直线l交圆O于P,Q两点,则 的取值范围是( )
A.[﹣8,﹣1]
B.[﹣8,0]
C.[﹣16,﹣1]
D.[﹣16,0]
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【题目】已知函数f(x)=lnx+2x+x﹣1,若f(x2﹣4)<2,则实数x的取值范围是( )
A.(﹣2,2)
B.(2, )
C.(﹣ ,﹣2)
D.(﹣ ,﹣2)∪(2, )
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