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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知

(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;

(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.

(III)在上是否存在两个不同的点,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.

解:(I)如图,

由三垂线定理逆定理知,,所以

山坡与所成二面角的平面角,则

.则

记总造价为万元,

据题设有

,即时,总造价最小.

(II)设,总造价为万元,根据题设有

,由,得

时,内是减函数;

时,内是增函数.

故当,即(km)时总造价最小,且最小总造价为万元.

(III)解法一:不存在这样的点

事实上,在上任取不同的两点.为使总造价最小,显然不能位于之间.故可设位于之间,且=,总造价为万元,则.类似于(I)、(II)讨论知,,当且仅当同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时取得最小值,点分别与点重合,所以不存在这样的点 ,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.

解法二:同解法一得

当且仅当,即同时成立时,取得最小值,以上同解法一.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=
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,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为
a
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万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=
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(km)

(Ⅰ)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(Ⅱ)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
(Ⅲ)在AB上是否存在两个不同的点D′,E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(Ⅱ)中得到的最小总造价,证明你的结论、
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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且数学公式,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为数学公式万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),数学公式
(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(II)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
(III)在AB上是否存在两个不同的点D',E',使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论、

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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=,点P到平面α的距离PH=0.4(km)。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用,从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元。已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=(km),
(Ⅰ)在AB上求一点D,使沿折线PDAD修建公路的总造价最小;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;
(Ⅲ)在AB上是否存在两个不同的点D′、E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(Ⅱ)中得到的最小总造价,证明你的结论。

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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),
(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(II)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
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