【题目】设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+ , b,c∈R)
(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间 内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1 , x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在 内的零点,判断数列x2 , x3 , …,xn 的增减性.
【答案】
(1)
解:由于n≥2,b=1,c=﹣1,fn(x)=xn+bx+c=xn+x﹣1,∴fn( )fn(1)=( ﹣ )×1<0,
∴fn(x)在区间 内存在零点.再由fn(x)在区间 内单调递增,可得fn(x)在区间 内存在唯一的零点.
(2)
解:当n=2,函数f2(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,
故函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4.
当 >1时,即b>2或 b<﹣2时,M=|f2(﹣1)﹣f2(1)|=2|b|>4,这与题设相矛盾.
当﹣1≤﹣ <0时,即0<b≤2时,M=f2(1)﹣ = ≤4 恒成立.
当0≤﹣ ≤1 时,即﹣2≤b≤0时,M=f2(﹣1)﹣ = ≤4 恒成立.
综上可得,﹣2≤b≤2.
(3)
解:法一:在(1)的条件下,xn是fn(x)=xn+x﹣1在 内的唯一零点,则有fn(xn)= +xn﹣1=0,
fn+1(xn+1)= +xn+1﹣1=0.
当xn+1∈ 时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)= +xn+1﹣1< +xn+1﹣1=fn(xn+1).
由(1)知,fn(x)在区间 内单调递增,故有xn<xn+1,故数列x2,x3,…,xn 单调递增数列.
法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在 内的唯一零点,
fn+1(xn) fn+1(1)=( +xn﹣1)×1= +xn﹣1< +xn﹣1=0,
故fn+1(x)的零点在(xn,1)内,∴xn<xn+1 (n≥2),故数列x2,x3,…,xn 单调递增数列.
【解析】(1)根据 fn( )fn(1)=( ﹣ )×1<0,以及fn(x)在区间 内单调递增,可得fn(x)在区间 内存在唯一的零点.(2)当n=2,由题意可得函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,分当 >1时、当﹣1≤﹣ <0时、当0≤﹣ ≤1 时三种情况,分别求得b的取值范围,再取并集,即得所求.(3)证法一:先求出fn(xn)和fn+1(xn+1)的解析式,再由当xn+1∈ 时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)= +xn+1﹣1< +xn+1﹣1=fn(xn+1),且fn(x)在区间 内单调递增,故有xn<xn+1 , 从而得出结论.证法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在 内的唯一零点,由fn+1(xn) fn+1(1)<0可得 fn+1(x)的零点在(xn , 1)内,从而有 xn<xn+1 (n≥2),由此得出结论.
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【题目】记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.设a为正整数,数列{xn}满足x1=a, ,现有下列命题:
①当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2;
②对数列{xn}都存在正整数k,当n≥k时总有xn=xk;
③当n≥1时, ;
④对某个正整数k,若xk+1≥xk , 则 .
其中的真命题有 . (写出所有真命题的编号)
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【题目】如图1,点为正方形边上异于点的动点,将沿翻折,得到如图2所示的四棱锥,且平面平面,点为线段上异于点的动点,则在四棱锥中,下列说法正确的有( )
A. 直线与直线必不在同一平面上
B. 存在点使得直线平面
C. 存在点使得直线与平面平行
D. 存在点使得直线与直线垂直
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【题目】已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为2,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)过点(﹣1,0)作直线与曲线C交于A,B两点,设点M坐标为(4,0),求△ABM面积的最大值.
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【题目】已知函数f (x)=x2,g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实数b的取值范围;
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在上单调递增,求实数m的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y=(x+1)2与圆 (r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r;
(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
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