理科(本小题14分)已知函数,当
时,函数
取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数
在区间
内导数都存在,且
,则存在
,使得
.试用这个结论证明:若
,函数
,则对任意
,都有
;(Ⅲ)已知正数
满足
求证:当
,
时,对任意大于
,且互不相等的实数
,都有
(Ⅰ).
(Ⅱ)
当时,
,
单调递增,
;
当时,
,
单调递减,
;(Ⅲ)用数学归纳法证明.
解析试题分析:(Ⅰ). 由
,得
,此时
.
当时,
,函数
在区间
上单调递增;
当时,
,函数
在区间
上单调递减.
函数
在
处取得极大值,故
. 3分
(Ⅱ)令, 4分
则.函数
在
上可导,
存在
,使得
.
又
当时,
,
单调递增,
;
当时,
,
单调递减,
;
故对任意,都有
. 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,
,且
,
,
,
由(Ⅱ)得
,即
,
当
时,结论成立. 9分
②假设当时结论成立,即当
时,
. 当
时,设正数
满足
令
,
则,且
.
13分当
时,结论也成立.
综上由①②,对任意,
,结论恒成立. 14分
考点:本题主要考查导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明,数学归纳法。
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,是导数的应用中的基本问题。本题(III)应用数学归纳法证明不等式,难度较大。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式.
(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.
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