Question

小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）（x∈Z⁺）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）（x∈Z⁺）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？

Answer 1

分析：（1）根据题意先求出销售量t与售价x之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y（元）关于售价x（元）（x∈Z⁺）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；
（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．

解答：解：设t=kx+b，∴

k•30+b=10 k•25+b=20

，解得k=-2，b=70，∴t=70-2x．…1分
（1）y=（x-10）•t=（x-10）•（70-2x）=-2x²+90x-700，…1分
∵

90

2•2

=22+

1

2

，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．…2分
（2）设售价x（元）时总利润为z（元），
∴z=2000•（x-10）-200•

2000

70-2x

…1分
=2000•（25-（（35-x）+

100

x-35

））≤2000•（25-2

(35-x)• 100 35-x

）=10000元．…1分
当35-x=

100

x-35

时，即x=25时，取得等号．…1分
∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高．…1分．

点评：本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．