Question

已知向量

OA

=（sinθ，cosθ）（θ∈R），

OB

=（

3

，3），

OC

=（-1，-

3

），
（Ⅰ）若θ为某锐角三角形的内角，证明：

OA

，

OB

不可能互相垂直；
（Ⅱ）若A，B，C三点共线，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）假设

OA

⊥

OB

，则

OA

•

OB

=0，即

3

sinθ+3cosθ=0，求得tanθ＜0，这与θ为锐角三角形的内角相矛盾，故

OA

，

OB

不可能互相垂直．
（Ⅱ）求得

AB

、

CB

的坐标，由A、B、C三点共线，得

AB

∥

CB

，再利用两个向量共线的性质可得tanθ 的值，从而求得θ 的值．

解答：解：（1）假设

OA

⊥

OB

，则

OA

•

OB

=0，即

3

sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=-

3

＜0．
而θ为锐角三角形的内角，这与tanθ＞0相矛盾，所以假设不成立．
即若θ为某锐角三角形的内角，则

OA

，

OB

不可能互相垂直．
（Ⅱ）∵

AB

=

OB

-

OA

=（

3

-sinθ，3-cosθ），

CB

=

OB

-

OC

=（

3

+1，3+

3

），
由A、B、C三点共线，得

AB

∥

CB

．
所以，（

3

-sinθ，3-cosθ）=（

3

+1，3+

3

）=，化简可得 tanθ=

3

3

，∴θ=kπ+

π

6

，k∈z．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线的性质，属于中档题．