Question

设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(

1

9

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，
得f(

1

9

)=2．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因

x2

x1

＞1，由（2）知f(

x2

x1

)＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R₊上的递减性，可得：

x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2

，
由此解得x的范围是(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞

1

9

且0＜x＜2，
得k＞

1

9x(2-x)

，此不等式有解，等价于k＞[

1

9x(2-x)

]min，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）_max=1，
故k＞

1

9

即为所求范围．