Question

已知f（x）、g（x）都是定义域为R的连续函数．已知：g（x）满足：①当x＞O时，g′（x）＞0 恒成立；②?x∈R都有g（x）=g（-x）．f（x）满足：①?x∈R都有f（x+

3

）=f（x-

3

）；②当x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]时，f（x）=x³-3x．若关于；C的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、R
• B、[0，1]
• C、[

  1

  2

  -

  3 3

  4

  ，-

  1

  2

  +

  3 3

  4

  ]
• D、（-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根据条件可得函数g（x）的奇偶性和单调性，利用条件可得函数f（x）的周期性，将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论．

解答：解：∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a²-a+2），x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，
由f（x+

3

）=f（x-

3

），得f（x+2

3

）=f（x），
即函数f（x）的周期T=2

3

，
∵x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），该函数过点（-

3

，0），（0，0），（

3

，0），
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，
在x=1处取得极小值f（1）=-2，
∴函数f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值为2，
由2≤|a²-a+2|，即2≤a²-a+2，
则a²-a≥0，
解得：a≥1或a≤0．
故选：D．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件求出函数的奇偶性和单调性，以及周期性是解决本题的关键，考查导数的综合应用，综合性较强，难度较大．