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    设点F是抛物线L：y2=4x的焦点，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）
    （1）若抛物线L上三点P1、P2、P3的横坐标之和等于4，求的值；
    （2）当n≥3时，若，求证：；
    （3）若将题设中的抛物线方程y2=4x推广为y2=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．
    【答案】分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义，结合x1+x2+x3=4，可得结论；
    （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证=2n
    （3）当n≥3时，若，求证：；
    逆命题：当n≥3时，“若，则”
    取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．
    解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
    分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
    ∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+3
    ∵x1+x2+x3=4，∴=7
    （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
    ∴=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
    ∵           
    ∴x1+x2+x3+…+xn=n
    ∴=n+n=2n
    （3）当n≥3时，若，求证：；
    逆命题：当n≥3时，“若，则”
    设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
    ∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（xn+）=x1+x2+x3+…+xn+
    ∵           
    ∴x1+x2+x3+…+xn=
    ∴=+=np
    逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
    ∴=x1+x2+x3+x4+2p=4p
    ∴x1+x2+x3+x4=2p
    不妨取，，，，则
    故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．
    点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
    已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x0，y0）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
    （I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；
    （II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线方程C：y2=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，|
    MF
    |+|
    MN
    |    的最小值为4．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且
    PF
    =λ1
    FA
    =λ2
    FB
    ，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：0108 模拟题 题型：解答题

    已知抛物线方程C：y2=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，的最小值为4，
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由。

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    科目：高中数学 来源：模拟题 题型：解答题

    已知抛物线C的方程为y2=2x，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l。
    （1）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；
    （2）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆（x- 1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值。

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    科目：高中数学 来源：2010年安徽省合肥一中高考数学冲刺最后一卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
    已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x，y）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
    （I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；
    （II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

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