Question

3．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}=（2\;，\;\;-1）$，$\overrightarrow{AC}=（x\;，\;\;3）$，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=$\frac{3}{2}$或4．

Answer 1

分析 由向量垂直和数量积的关系分类讨论可得x的方程，解方程可得．

解答 解：∵在△ABC中，$\overrightarrow{AB}=（2\;，\;\;-1）$，$\overrightarrow{AC}=（x\;，\;\;3）$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（x-2，4），
∴当A为直角时，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=2x-3=0，解得x=$\frac{3}{2}$；
当B为直角时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=2x-4-4=0，解得x=4；
当C为直角时，$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AC}$=x（x-2）+12=0，方程无解．
综上可得x=$\frac{3}{2}$或4．
故答案为：$\frac{3}{2}$或4

点评 本题考查数量积与向量的垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．