Question

设函数f(x)=

x3

3

-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R若函数f（x）在x=3处取得极小值是

1

2

，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）在x=3处取得极小值是

1

2

，得f′（3）=0，可解得a值，再由f（3）=

1

2

可求得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的表达式，解不等式f′（x）＞0即可得到单调增区间；

解答：解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0，解得 a=

3

2

，
又f(3)=

1

2

，
所以

27

3

-（a+1）•3²+4a×3+b=

1

2

，把a=

3

2

代入该式，解得b=-4，
所以a=

3

2

，b=-4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=x²-5x+6，
由f′（x）＞0，得x＞3或x＜2，
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，2），（3，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性问题，属基础题，准确求导，正确理解导数与单调性、极值的关系是解决问题的基础．