Question

抛物线y²=2px的焦点与双曲线

x2

3

-y2=1的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线方程求出其半焦距，根据抛物线的焦点与双曲线右焦点重合求出P，从而求出抛物线方程；
（Ⅱ）分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求出两交点间的距离，然后直接代入三角形的面积公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线

x2

3

-y2=1得，a²=3，b²=1，
所以c²=a²+b²=3+1=4，所以c=2．
则

p

2

=2，p=4．
所以抛物线的方程为y²=8x；
（Ⅱ）由题意知，a=

3

，b=1，
所以双曲线的渐进线方程为y=±

3

3

x，
抛物线的准线方程为x=-2．
代入双曲线的准线方程得y=±

2 3

3

．
设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A，B．
则|AB|=

4 3

3

．
所以抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为：
S=

1

2

×

4 3

3

×2=

4 3

3

．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，两圆锥曲线的关系问题是高考常见题型，解答的关键是合理运用所涉及的量，
此类问题往往具有较复杂的运算量，考查学生的计算能力，此题是中档题．