Question

已知曲线C₁的方程是kx-y+4-2k=0（k∈R），曲线C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，给出下列结论：
①曲线C₁：恒过定点（2，4）； 
②曲线C₂的图形是一个圆；
③k∈(

3

4

，+∞)时，C₁与C₂只有一个公共点； 
④若k=0时，则C₁与C₂必无公共点．
其中正确结论的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用直线的方程判断．②将曲线C₂的方程进行化简判断．③利用直线与圆的位置关系判断．④利用直线与圆的位置关系判断．

解答：解：∵曲线C₁的方程是kx-y+4-2k=0，
∴k（x-2）+4-y=0，表示过定点A（2，4）的直线，∴①正确．
∵C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，
∴

4-x2

=y-1，（y≥1），
∴平方得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）为圆心，半径r=2的上半圆，∴②错误．
③当x=-2时，y=1，即B（-2，1），
此时过A，B直线的斜率k=

4-1

2-(-2)

=

3

4

，由图象可知当k∈(

3

4

，+∞)时，C₁与C₂只有一个公共点，∴③正确．
④当k=0时，曲线C₁的方程是y=4，
此时曲线C₂的最大值为3，
∴则C₁与C₂无公共点，∴④正确．
故正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系的判断，利用数形结合是解决本题的关键．