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    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），已知点M的横坐标为
    1
    2
    ，且有Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），其中n∈N*且n≥2，
    （1）求点M的纵坐标值；
    （2）求s2，s3，s4及Sn；
    （3）已知an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
    分析：（1）由
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ）知M为线段AB的中点，由M的横坐标为
    1
    2
    得x1+x2=1，由此可求得y1+y2，从而可得点M的纵坐标；
    （2）根据Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），分别令n=2，3，4即可求得s2，s3，s4；由（1）知，由
    1
    n
    +
    n-1
    n
    =1    ，得f（
    1
    n
    ）+f（
    n-1
    n
    ）=1，从而可求得2Sn；
    （3）先表示出an，利用裂项相消法求得Tn，分离出参数λ后转化为求函数的最值可解决，利用基本不等式可得最值；
    解答：解：（1）依题意，由
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ）知M为线段AB的中点，
    又因为M的横坐标为
    1
    2
    ，A（x1，y1），B（x2，y2），
    ∴
    x1+x2
    2
    =
    1
    2
    ，即x1+x2=1，
    ∴y1+y2=1+log2(
    x1
    1-x1
    •
    x2
    1-x2
    )    =1+log21=1，
    所以
    y1+y2
    2
    =
    1
    2
    ，
    即点M的横坐标为定值
    1
    2
    ；
    （2）S2=f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    +log2
    1
    2
    1-
    1
    2
    =
    1
    2
    ，
    S3=f(
    1
    3
    )+f(
    2
    3
    )    =
    1
    2
    +log2
    1
    3
    1-
    1
    3
    +
    1
    2
    +log2
    2
    3
    1-
    2
    3
    =1，
    S4=f(
    1
    4
    )+f(
    2
    4
    )+f(
    3
    4
    )    =
    1
    2
    +log2
    1
    4
    1-
    1
    4
    +
    1
    2
    +log2
    2
    4
    1-
    2
    4
    +
    1
    2
    +log2
    3
    4
    1-
    3
    4
    =
    3
    2
    ，
    由（1）知，由
    1
    n
    +
    n-1
    n
    =1    ，得f（
    1
    n
    ）+f（
    n-1
    n
    ）=1，
    又Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ）=f（
    n-1
    n
    ）+f（
    n-2
    n
    ）+…+f（
    1
    n
    ），
    所以2Sn=（n-1）×1，即Sn=
    n-1
    2
    （n∈N*且n≥2）；
    （3）当n≥2时，an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    =
    4
    (n+1)(n+2)
    ，
    又n=1时，a1=
    4
    2×3
    =
    2
    3
    也适合，
    所以an=
    4
    (n+1)(n+2)
    (n∈N*)    ，
    ∴Tn=
    4
    2×3
    +
    4
    3×4
    +…+
    4
    (n+1)(n+2)
    =4（
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    ）
    =4（
    1
    2
    -
    1
    n+2
    ）=
    2n
    n+2
    （n∈N*），
    由
    2n
    n+2
    ≤λ(
    n
    2
    +1)    恒成立（n∈N*）推得λ≥
    4n
    n2+4n+4
    ，
    而
    4n
    n2+4n+4
    =
    4
    n+
    4
    n
    +4
    ≤
    4
    4+4
    =
    1
    2
    （当且仅当n=2取等号），
    ∴λ≥
    1
    2
    ，∴λ的最小正整数为1．
    点评：本题考查数列与不等式、数列与向量的综合，考查恒成立问题，考查转化思想，综合性强，难度较大．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
    （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
    1
    y1
    +
    1
    y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
    （1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
    x2-x1x3-x2
    ；
    （2）求A、C两点之间距离的最小值．

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