Question

【题目】已知函数f（x）=ln（a﹣ ）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（1,2]∪{3,4}
【解析】解：由ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0，

得ln[（ 4﹣a）x+2a﹣5]=ln（a﹣ ），

即a﹣ =（4﹣a）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2﹣（a﹣5）x﹣1=0，

即（x﹣1）[（a﹣4）x+1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=1，代入①，成立；

当a=3时，方程②的解为x=1，代入①，成立；

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=1或x=﹣ ，

若x=1是方程①的解，则a﹣ =a﹣1＞0，即a＞1，

若x=﹣ 是方程①的解，则a﹣ =2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，

则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4，

所以答案是：（1，2]∪{3，4}．