Question

选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N．求证：PM∥QN．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵A的逆矩阵A^-1=

1 0 0 2

，求矩阵A．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，过椭圆

x2

12

+

y2

4

=1在第一象限处的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
D．（不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：A：先连接AB，利用圆的性质易得∠ABN和∠APM相等，及∠ABN和∠AQN互补，从而得到∠APM+∠AQN=π，再结合点P，A，Q三点共线，即得．
B：根据已知条件，求出矩阵M，由M•M^-1=E，列出关于矩陈M中参数的方程组即可求得M．
C：先设

x=2 3 cosα y=2sinα

（α为参数），将矩形PMON周长表示成参数的三角函数的形式，利用三角函数的有啥界性即可求出矩形PMON周长取最大值；
D．对x分情况进行讨论：若x-1＜0，则a∈R；若x-1≥0，即（a-1）[（a+1）-2x]＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，列出关于a的不等关系即可求出实数a的取值范围．

解答：解：A．连接AB，易得∠ABN=∠APM，∠ABN+∠AQN=π，
所以∠APM+∠AQN=π，
又点P，A，Q三点共线，
故PM∥QN．
B．设A=

a b c d

，则由AA^-1=E得

a b c d

1 0 0 2

=

1 0 0 1

，
解得

a=1 b=0 c=0 d= 1 2

所以A=

1 0 0 1 2

．

C．设

x=2 3 cosα y=2sinα

（α为参数），
则矩形PMON周长的一半为：2

3

cosα+2sinα=4sin(α+

π

3

)，
所以，当α=

π

6

时，矩形PMON周长取最大值4×2=8，
此时，点P（3，1）．
D．证明：若x-1＜0，则a∈R；
若x-1≥0，则（x-a）²＞（x-1）²对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
所以

a-1＞0 a+1＜2x

或

a-1＜0 a+1＞2x

对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
解得a＜1．

点评：本题主要考查圆的有关知识、逆矩阵、解绝对值不等式、椭圆的参数方程的基本方法，考查运算求解的能力．难度不大，做题要仔细．