Question

13．抛物线C：y²=2x的准线方程是x=-$\frac{1}{2}$，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则$|{\overrightarrow{AF}}|+|{\overrightarrow{BF}}|$=9．

Answer 1

分析 根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论．

解答 解：抛物线C：y²=2x的准线方程是x=-$\frac{1}{2}$，它的焦点F（$\frac{1}{2}$，0）．
过A作AM⊥直线l，BN⊥直线l，PK⊥直线l，M、N、K分别为垂足，
则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．
再根据P为线段AB的中点，$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=|PK|=$\frac{9}{2}$，∴|AF|+|BF|=9，
故答案为：$x=-\frac{1}{2}；9$．

点评 本题主要考查抛物线的定义性值以及标准方程的应用，属于中档题．