Question

已知函数f（x）=x³+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

解：（1）可判定点（2，-6）在曲线y=f（x）上．
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=13．
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）设切点为（x₀，y₀），
则直线l的斜率为f′（x₀）=3x₀²+1，
∴直线l的方程为y=（3x₀²+1）（x-x₀）+x₀³+x₀-16，
又∵直线l过点（0，0），
∴0=（3x₀²+1）（-x₀）+x₀³+x₀-16，
整理得，x₀³=-8，
∴x₀=-2，
∴y₀=（-2）³+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）²+1=13．
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．
（3）∵切线与直线y=-+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x₀，y₀），则f′（x₀）=3x₀²+1=4，
∴x₀=±1，
∴或
切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．
分析：（1）经过判断发现（2，-6）是曲线上的点，求出曲线方程的导函数，把x=2代入导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；
（2）设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可；
（3）根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出切线方程的斜率为4，设出切点坐标，把切点的横坐标代入导函数中表示出切线的斜率，并让其值等于列出切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，根据横坐标求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，是一道综合题．