Question

已知函数．（）
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．

Answer 1

（1）． （2）时，函数的图象恒在直线下方．

第一问中，首先利用在区间上单调递增，则在区间上恒成立，然后分离参数法得到，进而得到范围；第二问中，在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在区间上单调递增，
则在区间上恒成立． …………3分
即，而当时，，故． …………5分
所以．                …………6分
（2）令，定义域为．
在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．   
∵       …………9分
① 若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上递增，
有，也不合题意；                    …………11分
② 若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是．       …………13分
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．