Question

7．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）设l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C到直线l的距离d和圆的半径r，根据d，r的大小关系即可得出直线l与圆C相交；
（2）设AB中点M（x，y），讨论AB的斜率，由K_AB•K_CM=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）证明：圆C的圆心为C（0，1），半径为r=$\sqrt{5}$，
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
∴d＜r，
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}$=-1，化简可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．