Question

如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O为AB的中点．
（1）证明：CO⊥DE；
（2）求二面角C-DE-A的正切值大小．
（3）求B到平面CDE的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中因为BC=AC，O为AB中点，我们易得CO⊥AB，又由等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CO⊥平面ABDE，进而根据线面垂直的性质，即可证明CO⊥DE；
（2）过C作CF⊥DE，垂足为F，连接OF，则∠CFO为二面角C-DE-A的平面角，在△CDE中，可得CE=，CD=2，DE=，取CD的中点G，则EG⊥CD，利用等面积可得CF，从而可求二面角C-DE-A的正切值．
（3）连接BG，BE，导出BG⊥CD，BG⊥EG，故BG⊥平面CDE，由此能求出B到平面CDE的距离．
解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形
∴BC=AC，
∵O为AB中点．所以CO⊥AB，
又因为平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO?平面ABC，
所以CO⊥平面ABDE，
∵DE?平面ABDE，
∴CO⊥DE；
（2）解：过C作CF⊥DE，垂足为F，连接OF，则∠CFO为二面角C-DE-A的平面角
在△CDE中，CE=，CD=2，DE=，
取CD的中点G，则EG⊥CD，∴EG=，
利用等面积可得：×CF=2×，
∴CF=，
∵CO=，∴OF=，
∴tan∠CFO===．
（3）连接BG，BE，
∵等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，
∴BG=，EG=，BE=，BG⊥CD，
∴BG⊥EG，∴BG⊥平面CDE，
∴B到平面CDE的距离为．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质与判定，线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．解答面面角的关键是正确作出面面角．