【题目】如图是某几何体的三视图.
(1)求该几何体外接球的体积;
(2)求该几何体内切球的半径.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)由三视图可知,几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥,以三条两两垂直的侧棱的长构造一个长方体,则该长方体的对角线长等于其外接球的直径,算出半径的长。(2)设内切球的半径为,球心为,连接,把三棱锥分成四个小三棱锥,由这四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积,求出内切球的半径。
试题解析:(1)由三视图可知,几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥,如图,设为三棱锥.
以为长、宽、高构造一个长方体,则该长方体的对角线长等于其外接球的直径,
设该外接球半径为.
∴,∴.
∴外接球的体积为.
(2)设内切球的半径为,球心为,连接,把三棱锥分成四个小三棱锥,四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积.
∴ .
解得.
∴所求几何体内切球的半径为.
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设不过原点 的直线 与椭圆 交于 两点,直线 的斜率分别为 ,满足 ,试问:当 变化时, 是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
(3)利用分层抽样的方法在[0,0.5) [3.5,4) [4,4.5)三组中选取5位居民,再从这5位居民中任意取三人,求这三人恰有两人来自同一组的概率。
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【题目】如图,四边形是边长为的正方形, 平面, ,且, .
(I)求证: 平面.
(II)求与平面所成角的正弦值.
(III)为直线上一点,且平面平面,求的值.
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【题目】给出下列四个命题:
①“若为的极值点,则”的逆命题为真命题;
②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题,则
④函数在点处的切线方程为.
其中不正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知数列的首项为,前项和为与之间满足 ,
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)设存在正整数,使对一切都成立,求的最大值.
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