Question

6．已知函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$．
（1）求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（-x）并化简，比较f（-x）与f（x）的关系；
（2）根据f（x）的单调性得出t²-2t与2t²-k的关系，采用分离参数法得出k与t的关系，

解答 解：（1）f（x）的定义域是R，f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}+1}-\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$．
∴f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}+1}{1+{2}^{x}}-1$=0．
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是R上的奇函数．
（2）∵y=2^x在R上是增函数，∴$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$在R上是减函数．
∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
∴t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t．
令g（t）=3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，则g（t）的最小值为-$\frac{1}{3}$．
∴k＜-$\frac{1}{3}$．∴k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的应用，二次函数的最值，属于中档题．