Question

（2011•烟台一模）已知函数f（x）asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（

π

6

）=asin

π

6

cos

π

6

+4cos2

π

6

=6可求得a；
（Ⅱ）将f（x）化简为f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，即可求函数f（x）的最小正周期和最大值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，f（

π

6

）=asin

π

6

cos

π

6

+4cos2

π

6

=6，即a×

1

2

×

3

2

+4×(

3

2

)2=6…（3分），
解得a=4

3

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x
=2

3

sin2x+2（cos2x+1）
=4sin（2x+

π

6

）+2，…（9分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值M=4+2=6…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的定义域和值域，掌握辅助角公式将f（x）化简为f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2是关键，属于基础题．