Question

【题目】已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）设在上存在极大值M，证明：.

Answer 1

【答案】（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.

【解析】

（1）求得，利用和 即可求得函数 的单调性区间；

（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.

（1）由题意，函数，

则，

当时，令，所以函数单调递增；

当时，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，

当时，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数 在单调递增，在单调递减.

（2）由函数，则，

令，可得

令，解得，

当时. ，函数在 单调递增，此时，

所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，

当时，令 解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为在上存在极大值，所以，解得，

因为，

易证明，存在时，，

存在使得，

当在区间上单调递增，在区间单调递减，

所以当时，函数取得极大值，即，，

由，

所以