Question

9．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ+k．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n}}{5}|•lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n+1}}{5}|}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1，通过数列{α_n}为等比数列计算即得结论；
（2）通过（1）可知$|\frac{{a}_{n}}{5}|$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，结合对数的运算性质、裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ+k，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）^n-1=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1，
∵数列{α_n}为等比数列，
∴-$\frac{1}{4}$=$\frac{-\frac{5}{4}•（-\frac{1}{4}）}{-\frac{1}{4}+k}$，解得：k=-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1；
（2）由（1）可知：$|\frac{{a}_{n}}{5}|$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
则b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n}}{5}|•lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n+1}}{5}|}$=$\frac{1}{（-2n）（-2n-2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．