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已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)a,b的值.

(2)用定义证明f(x)(-,+)上为减函数.

(3)若对于任意tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,k的范围.

 

(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<-

【解析】(1)f(x)R上的奇函数,f(0)=0,b=1.

f(-1)=-f(1),a=1.

经检验a=1,b=1符合题意.

(2)任取x1,x2R,x1<x2,

f(x1)-f(x2)=-

=

=.

x1<x2,->0,

又∵(+1)(+1)>0,

f(x1)-f(x2)>0,

f(x)(-,+)上为减函数.

(3)tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,

f(t2-2t)<-f(2t2-k).

f(x)为奇函数,f(t2-2t)<f(k-2t2),

f(x)为减函数,t2-2t>k-2t2,

k<3t2-2t恒成立,3t2-2t=3(t-)2--,k<-.

 

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