Question

已知椭圆E：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的离心率e=

3

2

，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆E的离心率e=

3

2

，
∴

a2-1

a

=

3

2

，
解得a=2，
故椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）联立方程

x2 4 +y2=1 x=2t

，得

x=2t y=± 1-t2

，
即M，N的坐标分别为（2t，

1-t2

），（2t，-

1-t2

），
∵圆C的直径为MN，且与y轴相切，
∴2t=

1-t2

，∵t＞0，∴t=

5

5

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面积S=

1

2

×2t×2

1-t2

≤2×

t2+1-t2

2

=1，
当且仅当t=

1-t2

即t=

2

2

时，等号成立，
故△OMN的面积的最大值为1．