Question

已知正实数a，b满足ab=a+b，则4a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题

分析：由条件ab=a+b变形为（a-1）（b-1）=1得出a、b的取值范围，再把4a+b中的b用a代换，最后应用基本不等式求解．

解答： 解：∵ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴ab-a-b+1=1，∴（a-1）（b-1）=1
∴a-1＞0且b-1＞0，∴a＞1、b＞1
由ab=a+b得（a-1）b=a，∴b=

a

a-1

∴4a+b=4a+

a

a-1

=4a+

a-1+1

a-1

=4a+

1

a-1

+1=4（a-1）+

1

a-1

+5
∵a-1＞0
∴4（a-1）+

1

a-1

+5≥2

4(a-1)• 1 a-1

+5=9
当且仅当4(a-1)=

1

a-1

，即a-1=

1

2

，也即a=

3

2

时，上述“=”成立
∴4a+b≥9
故答案为：9

点评：应用基本不等式解题时要验证等号成立的条件；对于较复杂的数学问题，对式子合理的变形是解题的关键．