Question

二阶矩阵M₁，M₂对应的变换对正方形区域的作用结果如下图所示：
（1）分别写出一个满足条件的矩阵M₁，M₂；
（2）根据（1）的结果，令M=M₂M₁，求曲线x-y-1=0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，二阶矩阵M₁对应的变换是横坐标不变，纵坐标的变换，二阶矩阵M₂对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故可求；
（2）先求得到M=

0 - 1 2 1 0

，设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y），从而有

0 - 1 2 1 0

(m，n)=(x，y)，故m=y，n=-2x，从而可求曲线方程．

解答：解：（1）由题意，二阶矩阵M₁对应的变换是横坐标不变，纵坐标的变换，故M1=

1 0 0 1 2

，
二阶矩阵M₂对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故M2=

0 -1 1 0

；
（2）M=M₂M₁=

0 -1 1 0

( 

1 0 0 1 2

，
∴M=

0 - 1 2 1 0

设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y）
∵

0 - 1 2 1 0

(m，n)=(x，y)
∴m=y，n=-2x
∵m-n-1=0
∴2x+y-1=0
故所求曲线方程为：2x+y-1=0．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，几种特殊的矩阵变换，属于中档题目．