Question

.已知圆O：x²+y²=b²与直线l：y=

3

(x-2)相切．
（1）求以圆O与y轴的交点为顶点，直线在x轴上的截距为半长轴长的椭圆C方程；
（2）已知点A(1，

3

2

)，若直线与椭圆C有两个不同的交点E，F，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为直线l：y=

3

(x-2)在x轴上的截距为2，所以a=2．由直线与圆相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AE方程为y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0．设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），因为点A(1，

3

2

)在椭圆上，所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k．由此能求出直线EF的斜率为

1

2

．

解答：解：（1）因为直线l：y=

3

(x-2)在x轴上的截距为2，
所以a=2，…（2分）
直线的方程变为

3

x-y-2

3

=0，
由直线与圆相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b…（4分）
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）设直线AE方程为y=k(x-1)+

3

2

，…（6分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0…（8分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因为点A(1，

3

2

)在椭圆上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k…（10分）
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
同理可得：xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，
yF=-kxF+

3

2

+k…（12分）
所以直线EF的斜率为kEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xE+xF)+2k

xF-xE

=

1

2

…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识和圆的简单性质，解题时要注意合理地进行等价转化．