Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-4x+22，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使得为数列{a_n}中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其导函数，根据f'（x）=-4x+22求出a=-2，b=22；代入可得S_n=-2n²+22n；再结合前n项和和通项之间的关系即可求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）先求出，知道当n=10或n=11时，有最大值是110，即可求出k的最小值；
（Ⅲ）先假设存在．再根据其是数列中的项，满足数列的通项公式即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax²+bx（a≠0），所以f'（x）=2ax+b．
因为f'（x）=-4x+22，所以a=-2，b=22．
所以f（x）=-2x²+22x．
因为点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以S_n=-2n²+22n．当n=1时，a₁=S₁=20，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-4n+24，
所以a_n=-4n+24（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*恒成立．
只要
由（Ⅰ）知S_n=-2n²+22n，
所以．
当n＜11时，；当n=11时，；当n＞11时，；
所以当n=10或n=11时，有最大值是110．
所以k＞110，又因为k∈N^*，
所以k的最小值为111．（8分）
（Ⅲ）存在m∈N^*，使得为数列a_n中的项．
由（Ⅰ）知a_n=24-4n，
所以a_m=24-4m，a_m+1=20-4m，a_m+2=16-4m，
所以．
令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以，
如果是数列a_n中的项，那么为小于等于5的整数，
所以t∈{-2，-1，1，2}．
当t=1或t=2时，，不合题意；
当t=-1或t=-2时，，符合题意．
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时，为数列{a_n}中的项．（13分）
点评：本题主要考查数列和函数的综合以及恒成立问题．考查转化思想，分类讨论思想，是对知识和思想方法的综合考查，属于难题．