【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,正数
满足
,证明:
.
【答案】(1) 当时,
在区间
上单调递增,当
时,在
和
上
单调递增,在
上
单调递减.
(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)分析单调性首先确定定义域,然后求导得,再确定分子的符号即可得出单调性,此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论;(2)因为当
时,
,由(1)可知
在区间
上单调递增.又易知
,且
,不妨设
,要证
,只需证
,只需证
,即证
,即证
.构造函数
,
.分析函数单调性求出最值即可.
详解:
(1)解:的定义域为
,
,
令,
.
①当时,
,
所以对
恒成立,则
在区间
上单调递增.
②当或
时,
,令
,得
,
.
(i)当时,
,
所以对
恒成立,则
在区间
上单调递增.
(ii)当时,
.
若,
,函数
单调递增;
若,
,函数
单调递减;
若,
,函数
单调递增.
综上所述:当时,
在区间
上单调递增.当
时,在
和
上
单调递增;在
上
单调递减.
(2)证明:当时,
,由(1)可知
在区间
上单调递增.
又易知,且
,不妨设
,
要证,只需证
,
只需证,即证
,
即证.
构造函数,
.
所以
,
,
.
当时,
,所以函数
在区间
上单调递增,
则.
所以得证,从而
.
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【题目】已知圆的圆心
在抛物线
上,圆
过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点的直线
交抛物线于
,
两点,分别在点
,
处作抛物线的两条切线交于
点,求三角形
面积的最小值及此时直线
的方程.
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【题目】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,如果p和q有且仅有一个真命题,求实数x的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数),且直线
与曲线
交于
两点,以直角坐标系的原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2) 已知点的极坐标为
,求
的值
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【题目】已知函数f(x)g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=23x.
(1)证明:f(x)-g(x)=23-x,并求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)解关于x不等式:g(x2+2x)+g(x-4)>0;
(3)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-4恒成立,求实数m的最大值.
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【题目】某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生只选修甲的概率为0.08,只选修甲和乙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)记“函数为
上的偶函数”为事件
,求事件
的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
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【题目】在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,设函数f(x)=sin2x+cos2x,且f(
)=2.
(1)若acosB+bcosA=csinC,求角B的大小;
(2)记g(λ)=|+λ
|,若|
|=|
|=3,试求g(λ)的最小值.
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