Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=

3an+2

an+4

．求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

，求得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．得到数列{

an+2

an-1

}构成以2为首项，以

5

2

为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：由a_n+1=

3an+2

an+4

，得

an+1+2

an+1-1

=

3an+2 an+4 +2

3an+2 an+4 -1

=

5an+10 an+4

2an-2 an+4

=

5(an+2)

2(an-1)

．
∴

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

．
由a₁=4，得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．
∴数列{

an+2

an-1

}构成以2为首项，以

5

2

为公比的等比数列，
则

an+2

an-1

=2•(

5

2

)n-1，
∴an=

2•( 5 2 )n-1+2

2•( 5 2 )n-1-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，解答此题的关键在于等比数列的构造，是中档题．