Question

19．已知函数f（x）=|x-a|-|x+4|的最大值为5．
（1）若a＞-4，将f（x）写成分段函数的形式；
（2）求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）运用零点分区间的方法，讨论当x≤-4时，当-4＜x＜a时，当x≥a时，去绝对值即可得到所求函数的解析式；
（2）运用绝对值不等式的性质||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，可得最大值，解方程可得a．

解答 解：（1）当x≤-4时，f（x）=a-x+x+4=a+4；
当-4＜x＜a时，f（x）=a-x-（x+4）=a-4-2x；
当x≥a时，f（x）=x-a-（x+4）=-a-4．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+4，x≤-4}\\{a-4-2x，-4＜x＜a}\\{-a-4，x≥a}\end{array}\right.$；
（2）由绝对值不等式的性质可得，
||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，
当（x-a）（x+4）≥0，取得等号．
即有|a+4|=5，
解得a=1或-9．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查零点分区间去绝对值的方法，以及化简计算能力，属于中档题．