Question

12．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，G是三角形ACD′的重心，求证：3DG=DB′．

Answer 1

分析 设长方体长AB为a，宽DA为b，高DD′为c，以D′为原点，A′D'为x轴，D′C′为y轴，DD′为z轴建立空间直角坐标系，则点D′坐标为（0，0，0），点A为（b，0，c），点C为（0，a，c），D（0，0，c），证明3$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{DB′}$，即可证明结论．

解答 证明：设长方体长AB为a，宽DA为b，高DD′为c
以D′为原点，A′D'为x轴，D′C′为y轴，DD′为z轴建立空间直角坐标系，则点D′坐标为（0，0，0），点A为（b，0，c），点C为（0，a，c），D（0，0，c）
因为G是三角形ACD'的重心，所以G的坐标为（$\frac{1}{3}$b，$\frac{1}{3}$a，$\frac{2}{3}$c），
所以，3$\overrightarrow{DG}$=（b，a，-c）
因为B'点的坐标为（b，a，0），所以$\overrightarrow{DB′}$=（b，a，-c）
所以3$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{DB′}$，
所以3DG=DB'

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确建立坐标系是关键．