Question

已知椭圆C：(a＞b＞0)的左准线恰为抛物线E：y² = 16x的准线，直线l：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P、Q两点，直线AP、AQ与椭圆C的右准线分别交于N、M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 椭圆的右顶点

解析:

（1）由题知抛物线y² = 16x的准线方程为x = – 4，这也是椭圆的左准线方程．设椭圆的右焦点为F(c，0)，其中c =，则，即a² = 4c．①

由消去x，得．

由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C相切，所以

．

即4b² + a² – 16 = 0，所以4(a² – c²) + a² – 16 = 0，

整理得5a² –4c² – 16 = 0．                               ②

将①代入②得5×4c – 4c² – 16 = 0，即c² – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4．

由于c＜a＜． 所以c = 1．所以a² = 4，b² = 3．所以椭圆C的方程为． 5分

（2）由（1）知，A(–2，0)，F(1，0)，椭圆的右准线方程为x = 4．

根据椭圆的对称性，当直线PQ⊥x轴时，四边形MNPQ是等腰梯形，对角线PM、QN的交点在x轴上．此时，直线PQ的方程为x = 1．

由得不妨取P(1，)，Q(1，–)，

故直线AP的方程为y =，将x = 4代入，得N(4，3)，

所以直线QN的方程为．令y = 0，得x = 2，即直线QN与x轴的交点为R(2，0)，

此点恰为椭圆的右顶点．……8分下面只要证明，在一般情况下Q、N、R三点共线即可．

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(4，y₃)，M(4，y₄)，直线PQ的方程为x = my + 1．

由消去x得．

所以．因为A(–2，0)，P(x₁，y₁)，N(4，y₃)三点共线，

所以与共线，所以(x₁ + 2)y₃ = 6y₁，即y₃ =．

由于，

所以=

==．

所以、共线，即Q、N、R三点共线．、……12分同理可证，P、M、R三点共线．

所以，四边形MNPQ的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．……13分